如图,在圆锥PO中,已知PO=
,☉O的直径AB=2,C是
的中点,D为AC的中点.
求证:平面POD⊥平面PAC.
见解析
解析【证明】如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-
,,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量,则由n1·
=0,n1·
=0,
得
所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量,
则由n2·
=0,
n2·
=0,得
所以x2=-z2,y2=z2.
取z2=1,得n2=(-,,1).
因为n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,
所以n1⊥n2.
从而平面POD⊥平面PAC.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
(1)证明：PF⊥FD；
(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。
（1）求证：BC⊥平面A1DC；
（2）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.
(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥
中，底面
是边长为1的菱形，
，
底面，
，
为
的中点，
为
的中点，
于
，如图建立空间直角坐标系.
（1）求出平面
的一个法向量并证明
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝
，F为PC的中点，AF⊥PB.
(1)求PA的长；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．
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的底面ABCD是平行四边形，
，
，
面
，设
为
中点，点
在线段
上且
．
平面
；
的大小为
，若
，求
的长．
为矩形，
，
，
，
，
为
的中点，
为线段
上的一点，且
.
面
；
面
；
的体积
.
的底面
是正方形，
底面
是
上的任意一点.
平面
；
时，求二面角
的大小.