Question

在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；
（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．
解答：解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得x²+3=y²+2，整理得y²-x²=1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线
（Ⅱ）由P点到直线y=x的距离为得，=，即|x-y|=1，即x=y+1或y=x+1，分别代入y²-x²=1解得P（0，-1）或P（0，1）
若P（0，-1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y+1）²+x²=3；
若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y-1）²+x²=3；
综上，圆P的方程为（y+1）²+x²=3或（y-1）²+x²=3
点评：本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程