Question

已知x，y满足：

x+y-1＞0 3x+y-3＜0 x-y＜0 3 x-y+1＞0

，则函数z=

xy

x2+y2

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意，借助已知动点在区域内任意动，而所求式子z=

xy

y2-x2

=

1

k- 1 k

，匿其中式子k=

y

x

的形式可以联想成在单位圆上动点P与原点构成的直线的斜率，进而求解．

解答：解z=

xy

y2-x2

=

k

k 2-1

=

1

k- 1 k

，其中k=

y

x

．
作出可行域得k_OA＜k＜k_OC，即k＞1，
又因为函数u=k-

1

k

在（1，+∞）上单调增，所以u＞0，所以z＞0．
故答案为：0＜z＜+∞

点评：此题重点考查了简单线性规划、已知两点坐标写斜率，及直线斜率的变化关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．