Question

已知x，y满足条件

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

（1）求z=2y-x的最大值．
（2）求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x-y对应的直线进行平移，可得当l经过点BC上一点时，z取得最大值，可得答案；
（2）设P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观察，可得当P与原点O在AC上的射影Q重合时，|OP|达到最小值，由此可得x²+y²的最小值．

解答：解：（1）作出不等式组

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，3），B（7，9），C（3，1），
设z=F（x，y）=2x-y，将直线l：z=2x-y进行平移，
观察x轴上的截距变化，可得当l经过点BC上一点时，目标函数z达到最大值．
∴z_最大值=F（7，9）=5；
（2）设P（x，y）为区域内一个动点，
则|OP|=

x2+y2

，因此x²+y²=|OP|²表示O、P两点距离的平方之值．
∵当P与原点O在AC上的射影Q重合时，|OP|=

|0+0-4|

2

=2

2

达到最小值
∴|OP|²的最小值为8，即x²+y²的最小值为8．

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x-y最大值和x²+y²的最小值，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识．