Question

6．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（其中t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，
（1）求当α=$\frac{π}{6}$时直线C₁的普通方程及曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设F（1，0），直线C₁和曲线C₂相交于两点A，B，若AF=2FB，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）当$α=\frac{π}{6}$ 时，直线C₁ 的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$ （其中t 为参数），消去参数t 得，直线C₁ 的普通方程；线C₂ 的极坐标方程为$ρ{sin^2}θ=4cos\theta$，即${ρ^2}{sin^2}θ=4ρcos\theta$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）直线C₁ 的普通方程为$y=（{x-1}）tan\alpha$，且经过点F（1，0），设直线C₁ 和曲线C₂ 相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程化为tanαy²-4y-4tanα=0，解之得y_1，2，利用AF=2FB，可得tan²α=8，利用弦长公式$AB=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{{tan}^2}α}}}|{{y_1}-{y_2}}|$即可得出．

解答 解：（1）当$α=\frac{π}{6}$ 时，直线C₁ 的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$ （其中t 为参数），
消去参数t 得，直线C₁ 的普通方程为$x-\sqrt{3}y-1=0$；
曲线C₂ 的极坐标方程为$ρ{sin^2}θ=4cos\theta$，即${ρ^2}{sin^2}θ=4ρcos\theta$，
即y²=4x 为曲线C₂ 的直角坐标方程．
（2）直线C₁ 的普通方程为$y=（{x-1}）tan\alpha$，且经过点F（1，0），
设直线C₁和曲线C₂相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=（{x-1}）tanα\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去变量x 可整理得，tanαy²-4y-4tanα=0，
解之得${y_{1，2}}=\frac{{4±4\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}{2tanα}=\frac{{2±2\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}{tanα}$，
∵AF=2FB，
∴$|{\frac{{2+2\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}{tanα}}|=2|{\frac{{2-2\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}{tanα}}|$，即tan²α=8，
∴$AB=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{{{{tan}^2}α}}}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\sqrt{1+\frac{1}{{{{tan}^2}α}}}\frac{{4\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}{{|{tanα}|}}=\frac{{4（{1+{{tan}^2}α}）}}{{{{tan}^2}α}}=\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了曲线的参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．