Question

17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin² A+sin² B=sin²C+sin AsinB，ccosB=b（1-cosC）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）在△ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上的P点处，设∠BDP=θ，当AD最小时，求$\frac{{|{{A}D}|}}{{|{{A}{B}}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及余弦定理，结合两角和与差的三角函数，判断三角形的形状．
（2）连结AP，设AD=DP=y，AB=a，则BD=a-y，由正弦定理求出表达式，通过三角函数的最值求解就．

解答 解：（1）由sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB得a²+b²=c²+ab
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$
又0＜C＜π∴$C=\frac{π}{3}$…（2分）
又由 ccosB=b（1-cosC）得：sinCcosB=sinB（1-cosC）
∴sinCcosB+sinBcosC=sinB∴sin（B+C）=sinB
即sinA=sinB∴a=b…（5分）
故△ABC为等边三角形； …（6分）
（2）如图：连结AP，

∵AD=DP∴θ=2∠BAP
∴$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$…（7分）
又设AD=DP=y，AB=a，则BD=a-y
在△BDP中，由正弦定理有：$\frac{BD}{sin∠BPD}=\frac{DP}{sinB}$
∴$\frac{a-y}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{y}{{sin\frac{π}{3}}}$
故$y=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}a}}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$…（10分）
∴$θ=\frac{π}{6}$时${y_{min}}=\frac{{\sqrt{3}a}}{{2+\sqrt{3}}}=（2\sqrt{3}-3）a$…（11分）
此时$\frac{{|{AD}|}}{{|{AB}|}}=\frac{{（2\sqrt{3}-3）a}}{a}=2\sqrt{3}-3$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的判定，三角函数的最值的求法，考查计算能力．