Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sin x，cos 2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）求 f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质可得函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}sinxcosx$$-\frac{1}{2}$cos2x=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．即可得出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（II）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得即可得出f（x）的单调增区间．

解答 解：（I）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}sinxcosx$$-\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为1，$-\frac{1}{2}$．
（II）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）．
∴f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]$（k∈Z）．

点评 本题考查了向量数量积的关系、三角函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．