Question

14．如图所示，在△ABC中，AB=4，AC=2，若O为△ABC的外心．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$的值；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（Ⅲ）若平面内一点P满足（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{AB}$=（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PA}$）•$\overrightarrow{CA}$=0，
试判定点P的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由垂径分弦定理得$|\overrightarrow{AO}|cos∠OAC=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|$，利用数量积运算性质即可得出；
（Ⅱ）利用向量三角形法则可得：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AO•}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$，展开利用（I）的结论即可得出；
（III）利用已知可得：$|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PC}|$，即点P与O点重合．

解答 解：（Ⅰ）由垂径分弦定理得$|\overrightarrow{AO}|cos∠OAC=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AO}|cos∠OAC$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}=2$．
（Ⅱ）同样$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AO•}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|cos∠OAB-|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AO}|cos∠OAC$=$\frac{1}{2}[|\overrightarrow{AB}{|^2}-|\overrightarrow{AC}{|^2}]=8-2=6$．
（Ⅲ）由$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•（\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}）={\overrightarrow{PB}^2}-{\overrightarrow{PA}^2}=0$$⇒|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|$
同理有：$|\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PC}|$，$|\overrightarrow{PC}|=|\overrightarrow{PA}|$，
∴$|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PC}|$，即点P与O点重合，
∴点P为△ABC的外心．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、圆的垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．