Question

4．已知数列{a_n}是等差数列，且a₄=a₂+4，a₃=6，则数列{a_n}的通项公式是2n，数列$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的前n项和T_n为$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₄=a₂+4，a₃=6，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d={a}_{1}+d+4}\\{{a}_{1}+2d=6}\end{array}\right.$，解得a₁，d．可得a_n，由于${2}^{{a}_{n}}={2}^{2n}$=4ⁿ．利用等比数列的前n项和公式可得T_n．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄=a₂+4，a₃=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d={a}_{1}+d+4}\\{{a}_{1}+2d=6}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-2）=2n，
${2}^{{a}_{n}}={2}^{2n}$=4ⁿ．
∴T_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$，
化为${{T}_n}=\frac{4}{3}（{{4^n}-1}）$．
故答案分别为：2n；$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．