Question

12．某家居装饰设计的形状是如图所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，其中，∠ACB=90°，BCC₁B₁是边长为2（单位：米）的正方形，AC=1，点D为棱AA₁上的动点．
（Ⅰ）现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理，假设每平方米的油漆费是40元，则需油漆费多少元？（提示：$\sqrt{5}≈2.236$，结果保留到整数位）
（Ⅱ）当点D为何位置时，CD⊥平面B₁C₁D？

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥BC．AA₁⊥BC．然后证明BC⊥平面ACC₁A₁．求出直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积，即可求解需油漆费．
（Ⅱ）当点D为AA₁的中点时，CD⊥平面B₁C₁D．当CD⊥C₁D时，有CD⊥平面B₁C₁D，求出AD，推出结果即可．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为BCC₁B₁是边长为2的正方形，所以BC=CC₁=AA₁=2．
因为∠ACB=90°，所以AC⊥BC．
又易知AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥BC．
又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面ACC₁A₁．
又AC=1，所以直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积为${S_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{2}×2×1×2+2×2+1×2+\sqrt{{2^2}+{1^2}}×2=8+2\sqrt{5}$（平方米）．
则需油漆费$（{8+2\sqrt{5}}）×40=320+80\sqrt{5}≈320+80×2.236≈499$（元）．…（6分）
（Ⅱ）当点D为AA₁的中点时，CD⊥平面B₁C₁D．证明如下：
由（Ⅰ）得BC⊥平面ACC₁A₁．
又BC∥B₁C₁，所以B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
所以B₁C₁⊥CD．
故当CD⊥C₁D时，有CD⊥平面B₁C₁D，且此时有△C₁A₁D∽△DAC．
设AD=x，则$\frac{{{A_1}{C_1}}}{{{A_1}D}}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{1}{2-x}=\frac{x}{1}$，解得x=1．
此时$AD=1=\frac{1}{2}A{A_1}$，即当点D为AA₁的中点时，CD⊥平面B₁C₁D．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直判断的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．