Question

13．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）判断直线l与曲线C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程．直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）圆心C（0，1）到直线l的距离d=$\frac{|0+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，与圆的r比较即可判断出位置关系．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得x²+（y-1）²=1．
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，化为x+y-2=0．
（2）圆心C（0，1）到直线l的距离d=$\frac{|0+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1=r．
∴直线l与曲线C相交．

点评 本题考查了曲线的参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．