Question

15．已知曲线f（x）=-x³-2x²+2ax+8在（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间并画出y=f（x）的大致图象；
（Ⅲ）已知函数g（x）=f（x）+x²-2mx，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，总有（x₁-x₂）[g（x₁）-g（x₂）]＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到a=2，进而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值和函数的图象；
（Ⅲ）由题意知g（x）在x∈[1，2]上为增函数，即g′（x）=-3x²-2x+（4-2m）≥0在x∈[1，2]恒成立．则2m≤-3x²-2x+4在x∈[1，2]恒成立．求得右边的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）对f（x）求导f′（x）=-3x²-4x+2a，
由题意可得f′（1）=-3-4+2a=-3，
∴a=2，∴f（x）=-x³-2x²+4x+8．
（Ⅱ）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），
由f′（x）≥0得$-2≤x≤\frac{2}{3}$，由f′（x）≤0得$x≥\frac{2}{3}$或x≤-2，
∴单调增区间为$[{-2，\frac{2}{3}}]$，单减区间为（-∞，-2），$（\frac{2}{3}，+∞）$，
f（x）极小值=f（-2）=0，f（x）极大值=$f（\frac{2}{3}）=9\frac{13}{27}$．
大致图象如右图．
（Ⅲ）g（x）=-x³-x²+（4-2m）x+8，
由题意知g（x）在x∈[1，2]上为增函数，
即g′（x）=-3x²-2x+（4-2m）≥0在x∈[1，2]恒成立．
∴2m≤-3x²-2x+4在x∈[1，2]恒成立．
令h（x）=-3x²-2x+4，只需2m≤h（x）_min，
∵h（x）在x∈[1，2]上为减函数，
∴h（x）_min=h（2）=-12，∴m≤-6，
所以实数m的取值范围为（-∞，-6]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的运用，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．