Question

5．已知函数f（x）=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1（x≥0，a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，当a=1且b＜0时，对于任意x₁∈（0，1），总存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）的导函数f′（x），讨论f′（x）＞0时，函数是增函数，f′（x）＜0时，函数是减函数；得f（x）的单调区间；
（2）a=1时，求出f（x）在（0，1）上的值域A；b＜0时，g（x）在（0，1）上的值域B；由题意A⊆B；从而求出b的取值范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}+a-2}{（ax+1{）（x+1）}^{2}}$，其中a＞0，且x≥0），
若a≥2，x≥0时，得f′（x）＞0
即f（x）在[0，+∞）上是增函数，
若0＜a＜2时，令f′（x）=0，有x=$\frac{2-a}{a}$，或x=-$\frac{2-a}{a}$（舍去）      

x	（0，$\frac{2-a}{a}$）	$\frac{2-a}{a}$	（ $\frac{2-a}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数		增函数

∴f（x）的单调减区间是（0，$\frac{2-a}{a}$），单调增区间是 （ $\frac{2-a}{a}$，+∞），
（2）当a=1时，由（2）得f（x）在（0，1）上是减函数，
∴ln2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1）；　
∵g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，∴g′（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），且b＜0，∴x∈（0，1）时g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上是增函数．∴g（x）的值域B=（0，-$\frac{2}{3}$b）；
由任取x₁∈（0，1），存在x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂），∴A⊆B；
即-$\frac{2}{3}$b≥1，∴b≤-$\frac{3}{2}$；
∴b的取值范围是{b|b≤-$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查了利用导函数研究函数的单调性与极值的问题，以及函数的值域问题，是较难的题目．