Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*）
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），两边取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$，即可证明．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，解出即可．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，
变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，
解得a_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的定义及其通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．