Question

1．关于x的不等式$\frac{x}{{x}^{2}+16}$≤a≤$\frac{{x}^{2}+2}{x}$，对任意x∈（0，3]均成立，则实数a的取值范围为$\frac{3}{25}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 构造函数，确定其单调性，求出函数的最值，即可确定实数a的取值范围．

解答 解：由题意，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{16}{x}}$，而x+$\frac{16}{x}$在（0，3]上单调递减，∴f（x）_max=$\frac{1}{3+\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{25}$；
g（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$在（0，3]上单调递减，∴g（x）_min=3+$\frac{2}{3}$=$\frac{11}{3}$，
∵关于x的不等式$\frac{x}{{x}^{2}+16}$≤a≤$\frac{{x}^{2}+2}{x}$，对任意x∈（0，3]均成立，
∴实数a的取值范围为$\frac{3}{25}$≤a≤$\frac{11}{3}$，
故答案为：$\frac{3}{25}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．