Question

11．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$]
• D． （-∞，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{2}^{a}+t）=\frac{a}{2}}\\{lo{g}_{2}（{2}^{b}+t）=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}+t={2}^{\frac{a}{2}}}\\{{2}^{b}+t={2}^{\frac{b}{2}}}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程2^x-${2}^{\frac{x}{2}}$+t=0的两个根，
设m=${2}^{\frac{x}{2}}$=$\sqrt{{2}^{x}}$，则m＞0，此时方程为m²-m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-4t＞0}\\{t＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜t＜$\frac{1}{4}$，
∴满足条件t的范围是（0，$\frac{1}{4}$），
故选：A．

点评 本题主要考查函数的值域问题，利用对数函数和指数函数的性质，是解决本题的关键．