Question

16．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，|$\overrightarrow{BC}$|=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=6．

Answer 1

分析 设BC的中点为O，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，求得${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{25}{4}$．再根据$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OM}}^{2}$，计算求得结果．

解答 解：如图，设BC的中点为O，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4、|$\overrightarrow{BC}$|=3，
可得（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$）=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{OB}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OB}}^{2}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${（\frac{3}{2}）}^{2}$=4，
求得${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{25}{4}$．
则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{ON}$）=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{OM}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OM}}^{2}$=$\frac{25}{4}$-${（\frac{1}{2}）}^{2}$=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化、数形结合的数学思想，是中档题．