Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+$\frac{1}{12}$（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若a=-1，求证：当x＞1时，f（x）＜$\frac{2}{3}$x³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）设$F（x）=\frac{2}{3}{x^3}-（\frac{1}{2}{x^2}+lnx+\frac{1}{12}）$，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0…（1分）
$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{x-{a^2}}}{x}（x＞0）$…（2分）
若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）…（4分）
若a＞0时，令f'（x）＞0，得$x＞\sqrt{a}$…（5分）
即f（x）的单调区间为$（\sqrt{a}，+∞）$，减区间为$（0，\sqrt{a}）$…（6分）
（Ⅱ）证明：设$F（x）=\frac{2}{3}{x^3}-（\frac{1}{2}{x^2}+lnx+\frac{1}{12}）$…（7分）
则$F'（x）=2{x^2}-x-\frac{1}{x}=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}$…（8分）
∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且$F（1）=\frac{1}{12}＞0$…（10分）
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）
∴当x＞1，$\frac{1}{2}{x^2}+lnx+\frac{1}{12}＜\frac{2}{3}{x^3}$…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键．