Question

18．在正项等比数列{a_n}中a₃+a₄=$\frac{3}{8}$，a₆=1，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为12．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．

解答 解：∵在正项等比数列{a_n}中a₃+a₄=$\frac{3}{8}$，a₆=1，
∴a₁q²（1+q）=$\frac{3}{8}$①，
a₁q⁵=1②，q为数列的公比，
联立①②，解得a₁=$\frac{1}{32}$，q=2，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{\frac{1}{32}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{32}$（2ⁿ-1），
S_n=a₁a₂…a_n=$（\frac{1}{32}）^{n}$•2^1+2+…+n-1=${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n}$．
由题意可得T_n＞S_n，即$\frac{1}{32}$（2ⁿ-1）＞${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n}$，
化简得：2ⁿ-1＞${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+5}$，即2ⁿ-${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+5}$＞1，
因此只须n＞$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+5$，即n²-13n+10＜0
解得 $\frac{13-\sqrt{129}}{2}$＜n＜$\frac{13+\sqrt{129}}{2}$，
由于n为正整数，因此n最大为$\frac{13+\sqrt{129}}{2}$的整数部分，也就是12．
故答案为：12．

点评 本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．