Question

19．已知数列{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且$\frac{S_4}{S_8}=\frac{1}{17}$，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5项和为（　　）

• A． $\frac{31}{16}$或$\frac{11}{16}$
• B． $\frac{11}{16}$或$\frac{21}{16}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{31}{16}$

Answer 1

分析 由已知式子可得数列{a_n}的公比，进而可得等比数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的首项为1，公比为±$\frac{1}{2}$，由求和公式可得．

解答 解：∵$\frac{S_4}{S_8}=\frac{1}{17}$，∴S₈=17S₄，
∴$\frac{{S}_{8}-{S}_{4}}{{S}_{4}}$=16，∴公比q满足q⁴=16，
∴q=2或q=-2，
∴等比数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的首项为1，公比为±$\frac{1}{2}$，
当公比为$\frac{1}{2}$时，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5项和为$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{16}$；
当公比为-$\frac{1}{2}$时，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5项和为$\frac{1×（1+\frac{1}{{2}^{5}}）}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{11}{16}$
故选：A

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．