Question

4．当a＞$\frac{3}{4}$且a≠1时，判断log_a（a+1）与log_（a+1）a的大小，并给出证明．

Answer 1

分析 作差对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：当a＞1时，log_a（a+1）＞log_（a+1）a；
当$\frac{3}{4}＜a＜1$时，log_a（a+1）＜log_（a+1）a．
证明如下：log_a（a+1）-${log_{（a+1）}}a=\frac{lg（a+1）}{lga}-\frac{lga}{lg（a+1）}=\frac{{{{lg}^2}（a+1）-{{lg}^2}a}}{lgalg（a+1）}$，
（1）当a＞1时，lga＞0，lg（a+1）＞0，lg（a+1）＞lga．
∴log_a（a+1）-log_（a+1）a＞0，log_a（a+1）＞log_（a+1）a；
（2）当$\frac{3}{4}＜a＜1$时，log_a（a+1）-${log_{（a+1）}}a=\frac{{{{lg}^2}（a+1）-{{lg}^2}a}}{lgalg（a+1）}$=$\frac{（lg（a+1）-lga）（lg（a+1）+lga）}{lgalg（a+1）}=\frac{{（lg（a+1）-lga）lg（{a^2}+a）}}{lgalg（a+1）}$，
∵$\frac{3}{4}＜a＜1$，∴lga＜0，lg（a+1）＞0，lg（a²+a）＞lg1=0，
∴$\frac{{（lg（a+1）-lga）lg（{a^2}+a）}}{lgalg（a+1）}＜0$，
∴log_a（a+1）＜log_（a+1）alog_（a+1）a．

点评 本题考查了“作差法”、对数的运算法则及其函数的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．