Question

12．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）求f（x）的值域； 
（2）求不等式：f（x）≥x²-3x-1的解集．

Answer 1

分析 （1）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，利用函数的性质即可求得函数f（x）的值域；
（2）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的二次不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|-|x-5|，
∴当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7∈（-3，3）；
当x≥5时，f（x）=x-2-（x-5）=3；
综上所述，函数f（x）的值域为[-3，3]；
（2）∵|x-2|-|x-5|≥x²-3x-1，
∴当x＜2时，x²-3x-1≤-3，
解得1≤x＜2；
当2≤x＜5时，有x²-3x-1≤2x-7，
解得2≤x≤3；
当x≥5时，有x²-3x-1≤3，
即得x∈Φ，
综上所述，原不等式的解集为{x|1≤x≤3}．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查解一元二次不等式的运算能力，属于中档题．