Question

2．在直角坐标系xOy中，已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+4=0，点P是直线l：x-2y-2=0上的任意点，过P作圆的两条切线PA，PB，切点为A、B，当∠APB取最大值时．
（Ⅰ）求点P的坐标及过点P的切线方程；
（Ⅱ）在△APB的外接圆上是否存在这样的点Q，使|OQ|=$\frac{7}{2}$（O为坐标原点），如果存在，求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心C（1，2），r=1，判断当∠APB取最大值时，即圆心到点P的距离最小，通过求解P（2，0）得到切线方程．
（Ⅱ）△APB的外接圆是以PC为直径的圆，求出PC的中点坐标是$（\frac{3}{2}，1）$，$|PC|=\sqrt{5}$，圆上的点到点O的最大距离判断求解，即可得到因此这样的点Q不存在．

解答 解：（Ⅰ）圆方程可化为：（x-1）²+（y-2）²=1，圆心C（1，2），r=1
当∠APB取最大值时，即圆心到点P的距离最小…（1分）
所求的点P是过圆心与直线l垂直的直线与直线l的交点．
过圆心与直线l垂直的直线的方程是：2x+y-4=0…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ x-2y-2=0\end{array}\right.$，解得P（2，0）…（3分）
设切线方程为：y=k（x-2），
$1=\frac{|-k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=$-\frac{3}{4}$，或k不存在．
过点P的切线方程：3x+4y-6=0…（5分）
或x=2…（6分）
（Ⅱ）△APB的外接圆是以PC为直径的圆…（7分）
PC的中点坐标是$（\frac{3}{2}，1）$，$|PC|=\sqrt{5}$…（8分）
因此△APB外接圆方程是：${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-1）^2}=\frac{5}{4}$…（9分）
圆上的点到点O的最大距离是：$\sqrt{{{（\frac{3}{2}）}^2}+{1^2}}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}=\frac{{\sqrt{13}}}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}＜\frac{4}{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$…（11分）
因此这样的点Q不存在…（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，存在性问题的求法，圆的切线方程的求法，考查计算能力．