Question

12．$\sqrt{2+\frac{2}{3}}，\sqrt{3+\frac{3}{8}}，\sqrt{4+\frac{4}{15}}，\sqrt{5+\frac{5}{24}}，…$，由此猜想出第n（n∈N₊）个数是$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-1}}}$．

Answer 1

分析 根号下由两个数组成，前一个数是首项为2，公差为1的等差数列，后一个数是分数，通项是$\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}$，从而可猜想第n个数．

解答 解：∵$\sqrt{2+\frac{2}{3}}，\sqrt{3+\frac{3}{8}}，\sqrt{4+\frac{4}{15}}，\sqrt{5+\frac{5}{24}}，…$，
∴将根号下的数分成两个数的和，2，3，4…的通项是n+1；
$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{15}$…的通项是$\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}$
∴由此猜想第n个数为$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-1}}}$．
故答案为：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-1}}}$．

点评 本题考查了归纳推理，考查了信息获取能力，先利用已知的计算，认真观察是解决此类问题的关键．