Question

12．已知m＞$\frac{1}{2}$，n＞1，则$\frac{{n}^{2}}{2m-1}$+$\frac{4{m}^{2}}{n-1}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 7.5
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由m＞$\frac{1}{2}$，n＞1，令x=2m-1，y=n-1，则m=$\frac{1}{2}$（x+1），n=y+1，x，y＞0，即有$\frac{{n}^{2}}{2m-1}$+$\frac{4{m}^{2}}{n-1}$=$\frac{（y+1）^{2}}{x}$+$\frac{（x+1）^{2}}{y}$，运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．

解答 解：由m＞$\frac{1}{2}$，n＞1，令x=2m-1，y=n-1，
则m=$\frac{1}{2}$（x+1），n=y+1，x，y＞0，
即有$\frac{{n}^{2}}{2m-1}$+$\frac{4{m}^{2}}{n-1}$=$\frac{（y+1）^{2}}{x}$+$\frac{（x+1）^{2}}{y}$
=（$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{y}$）+（$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$）+（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）
≥2$\sqrt{xy}$+2$\sqrt{\frac{1}{xy}}$+4
≥2$\sqrt{4}$+4=8，
当且仅当x=y=1取得最小值，且为8．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的运用，注意运用换元法，同时求最值时，要求一正二定三等，属于中档题．