Question

4．设f（x）=log₂x-log_x4（0＜x＜1），数列{a_n}满足f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n（n∈N^*），判断{a_n}有没有最小的项，若有，请求出；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 利用函数解析式得出a_n²-2na_n-2=0，注意a_n＜0，求解方程得出a_n=n$-\sqrt{{n}^{2}+2}$=$-\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}}+\sqrt{{n}^{2}+2}}$，运用不等式判断单调性即可得出最小项．

解答 解：∵f（x）=log₂x-log_x4=log₂x-log_x2（0＜x＜1），f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n（n∈N^*），a_n＜0，
∴a_n-$\frac{2}{{a}_{n}}$=2n，a_n²-2na_n-2=0，a_n=n$-\sqrt{{n}^{2}+2}$=$-\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}}+\sqrt{{n}^{2}+2}}$，
a_n+1=$-\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}}+\sqrt{（n+1）^{2}+2}}$=$\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}+\sqrt{{n}^{2}+2}}}$$＞\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}}+\sqrt{（n+1）^{2}+2}}$，
∵$\sqrt{{n}^{2}}$$+\sqrt{{n}^{2}+2}$$＜\sqrt{（n+1）^{2}}$$+\sqrt{（n+1）^{2}+2}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{{n}^{2}+\sqrt{{n}^{2}+2}}}$$＞\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}}+\sqrt{（n+1）^{2}+2}}$，
即a_n＜a_n+1
数列为递增数列，
故{a_n}有最小的项：a₁=-$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=1-$\sqrt{3}$

点评 本题考查了数列的函数性，运用不等式求数列的单调性，属于中档题，关键是准确化简求值．