Question

7．已知一组样本点（x_i，y_i），（其中i=1，2，3，…，30），变量x与y线性相关，且根据最小二乘法求得的回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，则下列说法正确的是（　　）

• A． 至少有一个样本点落在回归直线$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上
• B． 若$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$斜率$\stackrel{∧}{b}$＞0，则变量x与y正相关
• C． 对所有的解释变量x_i（i=1，2，3，…，30），$\stackrel{∧}{b}$x_i+$\stackrel{∧}{a}$的值与y_i有误差
• D． 若所有样本点都在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上，则变量间的相关系数为1

Answer 1

分析 根据样本点可能全部不在回归直线上，可得A错；根据相关系数r与b符号相同，故b＞0可得变量x与y正相关，可得B正确；根据所有的样本点都在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上时，变量之间的关系为函数关系，此时$\stackrel{∧}{b}$x_i+$\stackrel{∧}{a}$的值与y_i相等，可判断C错误；根据相关系数绝对值为1时，即r=±1，所有样本点都在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上，可判断D正确．

解答 解：回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；
相关系数r与b符号相同，若$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$斜率$\stackrel{∧}{b}$＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故B正确；
若所有的样本点都在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上，则$\stackrel{∧}{b}$x_i+$\stackrel{∧}{a}$的值与y_i相等，故C错误；
所有样本点都在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$上，则变量间的相关系数为±1，故D错误．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是线性回归及最小二乘法，其中熟练掌握最小二乘法的相关基本概念是解答的关键．