Question

17．在三角形中有如下性质：①任意两边之和大于第三边；②中位线长等于底边长的一半；③若内切圆半径为r，周长为l，则面积S=$\frac{1}{2}$lr； ④三角形都有外接圆．
将其类比到空间则有：四面体中，①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过同一顶点的三条棱中点的截面面积是第四个面面积的$\frac{1}{4}$；③若内切球半径为R，表面积为s，则体积V=$\frac{1}{3}$sR．④四面体都有外接球．其中正确的类比结果是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．

解答 解：将其类比到空间则有：四面体中，
①在四面体ABCD中，设点A在底面上的射影为O，则三个侧面的面积都大于在底面上的投影的面积，故三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，所以任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，正确；
②由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的$\frac{1}{4}$，正确；
③利用分割法，若内切球半径为R，表面积为s，则体积V=$\frac{1}{3}$sR，正确；
④四面体都有外接球，正确．
故选：D．

点评 本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想，比较基础．