Question

6．已知函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）的两个零点为x₁、x₂，并且0＜x₁＜1＜x₂＜2，则a²+b²-6b的取值范围是（　　）

• A． [-1，4）
• B． （-1，4）
• C． （1，4）
• D． [-4，1）

Answer 1

分析 根据题意，由函数根的分布情况可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，进而可以利用平面区域表示出来，而a²+b²-6b=a²+（b-3）²-9，可以设t=$\sqrt{{a}^{2}+（b-3）^{2}}$，分析易得t的几何意义，借助线性规划的内容分析易得t的取值范围，由a²+b²-6b=t²-9分析可得答案．

解答 解：根据题意，若函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）的两个零点为x₁、x₂，并且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
则有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b+1＜0}\\{4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，
可以用如图的阴影部分表示：（不含边界）
而a²+b²-6b=a²+（b-3）²-9，
令t²=a²+（b-3）²，则t=$\sqrt{{a}^{2}+（b-3）^{2}}$，
则t的几何意义为阴影区域内的点与点（0，3）之间的距离，
分析易得：t的取值范围是（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{13}$），
则a²+b²-6b=t²-9的范围为（-1，4）；
故选：B．

点评 本题考查线性规划的运用，解题的关键是将一元二次方程根的分布情况转化为不等式组，进而用线性规划进行分析．