Question

1．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S₃=15，a₅+a₉=30．
（I）求a_n及S_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n（S_n-n）=2（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，根据题意和等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a₁和d的值，代入公式求出a_n及S_n；
（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）求出b_n，再利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，即可证明T_n＜2．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，
∵S₃=15，a₅+a₉=30，∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=15}\\{2{a}_{1}+12d=30}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n（S_n-n）=2，则b_n（n²+n）=2，
∴${b}_{n}=\frac{2}{{n}^{2}+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）]
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
∴对于任意正整数n，有T_n＜2成立．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及方程思想，属于中档题．