Question

12．已知等腰△OAB中|OA|=|OB|=2，且$|{\overrightarrow{{O}{A}}+\overrightarrow{{O}{B}}}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow{{A}{B}}}|$，那么$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}$的取值范围是：（　　）

• A． [-2，4）
• B． （-2，4）
• C． （-4，2）
• D． （-4，2]

Answer 1

分析 由题意可得，${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）}^{2}$≥$\frac{1}{3}$${（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）}^{2}$，化简可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≥-2．再根据$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos∠AOB＜4，从而求得$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}$的取值范围．

解答 解：由题意等腰△OAB中|OA|=|OB|=2，可得${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）}^{2}$≥$\frac{1}{3}$${（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）}^{2}$，
化简可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≥-2．
再根据 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos∠AOB=2•2•cos∠AOB＜4cos∠0=4，
即 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜4．
综上可得，-2≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜4
故选：A．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于基础题．