Question

设f(x)=

x2-4x+6，x≥0 2x+4，x＜0

若存在互异的三个实数x₁，x₂，x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则x₁+x₂+x₃的取值范围是

（3，4）

．

Answer 1

分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x₁，x₂，x₃，的取值范围．

解答：解：不妨设x₁＜x₂＜x₃，当x≥0时f（x）=（x-2）²+2，
此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，
作出函数f（x）的图象如图：
由2x+4=2得x=-1，由f（x）=（x-2）²+2=4时，解得x=2-

2

或x=2+

2

，
所以若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
则-1＜x₁＜0，2-

2

＜x2＜2，2＜x3＜2+

2

，且

x2+x3

2

=2，即x₂+x₃=4，
所以x₁+x₂+x₃=4+x₁，
因为-1＜x₁＜0，所以3＜4+x₁＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范围是（3，4）．
故答案为：（3，4）．

点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．