Question

在平面直角坐标系xOy中，已知过点(1，

3

2

)的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点B的坐标为(

8

5

，

3 3

5

)，试求直线PA的方程；
（3）记M，N两点的纵坐标分别为y_M，y_N，试问y_M•y_N是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图所示，由于过点(1，

3

2

)的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），可得

1 a2 + 9 4b2 =1 c=1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）由点B的坐标为(

8

5

，

3 3

5

)，点P与点B关于坐标原点对称，可得P(-

8

5

，-

3 3

5

)．利用斜率计算公式可得k_BF．即可得到直线BF的方程y=

3

(x-1)．与椭圆的方程联立解得x_A．进而得到直线PA的方程．
（3）椭圆C的右准线l为：x=

a2

c

=4．当直线AB⊥x轴时，B（1，

3

2

），A(1，-

3

2

)，P(-1，-

3

2

)．即可得到直线PB的方程，直线PA的方程，即可得到y_M•y_N．当直线AB的斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则P（-x₂，-y₂）．可得直线PB的方程为：y=

y2

x2

x，与x=4联立，解得y_N=

4y2

x2

．设直线AB的方程为：y=k（x-1）．直线PA的方程为：k_PA=

y1+y2

x1+x2

．由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．得到

3

4

+kPA•kAB=0，即kPA=-

3

4k

．得到直线PA的方程为：y+y2=-

3

4k

(x+x2)．联立直线PA与l的方程

x=4 y+y2=- 3 4k (x+x2)

，解得y_M．进而得到y_M•y_N．

解答：解：（1）如图所示，∵过点(1，

3

2

)的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 c=1 a2=b2+c2

，解得c=1，b²=3，a²=4．
∴椭圆C的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵点B的坐标为(

8

5

，

3 3

5

)，点P与点B关于坐标原点对称．∴P(-

8

5

，-

3 3

5

)．
可得k_BF=

3 3 5

8 5 -1

=

3

．
∴直线BF的方程y=

3

(x-1)．
联立

y= 3 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化为5x²-8x=0，解得x=0或

8

5

．
把x=0代入直线方程可得y=-

3

．
∴A(0，-

3

)．
∴kPA=

-3 3 5 + 3

- 8 5 -0

=-

3

4

．
∴直线PA的方程为：y=-

3

4

x-

3

．
（3）椭圆C的右准线l为：x=

a2

c

=4．
①当直线AB⊥x轴时，B（1，

3

2

），A(1，-

3

2

)，P(-1，-

3

2

)．
∴直线PB的方程为：y=

3

2

x，联立

x=4 y= 3 2 x

，解得y_N=6．
直线PA的方程为：y=-

3

2

，∴yM=-

3

2

．
∴y_N•y_M=6×(-

3

2

)=-9．
②当直线AB的斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则P（-x₂，-y₂）．
∴直线PB的方程为：y=

y2

x2

x，联立

x=4 y= y2 x2 x

，解得y_N=

4y2

x2

．
设直线AB的方程为：y=k（x-1）．
直线PA的方程为：k_PA=

y1+y2

x1+x2

．
由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．
∴

3

4

+kPA•kAB=0，∴kPA=-

3

4k

．
得到直线PA的方程为：y+y2=-

3

4k

(x+x2)．
联立直线PA与l的方程

x=4 y+y2=- 3 4k (x+x2)

，
解得y=-y2-

3(4+x2)

4k

=-

3(4+x2)(x2-1)

4y2

-y2=

-[4 y 2 2 +3 x 2 2 -12+9x2]

4y2

．
∵

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，∴4

y

2 2

+3

x

2 2

-12=0．
∴yM=-

9x2

4y2

．
∴y_M•y_N=-

9x2

4y2

•

4y2

x2

=-9．
综上可知：y_M•y_N=-9，为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、点与椭圆的位置关系、斜率计算公式直线的点斜式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．