Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

且经过点M（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设平行于OM的直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂；
①若直线l过椭圆的左顶点，求k₁、k₂的值；
②试猜测k₁、k₂的关系；并给出你的证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，依题意有：

e2= a2-b2 a2 =( 3 2 )2 22 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ） ①直线l平行于OM，直线的方程是l：y=

1

2

x+

2

，联立

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，能求出k₁、k₂的值．
②直线l为y=

1

2

x+b．由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0．由此能证明直线MA与直线MB的倾斜角互补．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
依题意有：

e2= a2-b2 a2 =( 3 2 )2 22 a2 + 1 b2 =1

，
解得a²=8，b²=2，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ） ①若直线l过椭圆的左顶点，且直线l平行于OM，
则直线的方程是l：y=

1

2

x+

2

，
联立方程组

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，
解得

x1=0 y1= 2

或

x2=-2 2 y2=0

，
故k1=-

2 -1

2

，k2=

2 -1

2

．
②因为直线l平行于OM，设在y轴上的截距为b，
又kOM=

1

2

，∴直线l的方程为y=

1

2

x+b．
由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x1+x2=-2b，x1x2=2b2-4．
又k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
∴k₁+k₂=（

1

2

x1+b-1）（x₂-2）+（

1

2

x2+b-1）（x₁-2）
=x₁x₂+（b-2）（x₁+x₂）-4（b-1）
=2b²-4+（b-2）（-2b）-4（b-1）=0．
故k₁+k₂=0，∴直线MA与直线MB的倾斜角互补．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的求法，考查直线斜率的关系及证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．