Question

设命题P：“方程

x2

2-a

+

y2

3

=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”；命题Q：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”； 如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别利用椭圆的性质和一元二次方程有实数根与判别式的关系即可解出a的取值范围；再利用复合命题的真假判断方法：“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q一真一假．

解答： 解：对P：∵方程

x2

2-a

+

y2

3

=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴2-a＞3，∴命题P：a＜-1．
对于Q：x²+2ax+2-a=0有解，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1，∴命题Q：a≤-2或a≥1．
∵“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q一真一假．
若P真Q假，则-2＜a＜-1；
若P假Q真，则a≥1．
综上得：a∈（-2，-1）∪[1，+∞）．

点评：本题考查了椭圆的性质和一元二次方程有实数根与判别式的关系、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力，属于中档题．