Question

已知椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，短半轴长为

6

2

，离心率e=

10

5

，左、右焦点分别为F₁、F₂．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁作直线l交椭圆于P、Q两点（直线l不过原点O），若

QF2

•

PF2

=

11

8

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my-1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，得（6m²+10）y²-12my-9=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
短半轴长为

6

2

，离心率e=

10

5

，
则

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，…（3分）
解得：a2=

5

2

，b2=

3

2

，c2=1，
因此所求椭圆的方程为：

2x2

5

+

2y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0）、F₂（1，0），
由题意知直线(x0-a)2+(

x02

2

-

1

4

)2=a2+

1

16

的倾斜角不为0，
故可设直线l的方程为：x=my-1，…（7分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，整理得（6m²+10）y²-12my-9=0，
△＞0，y1+y2=

12m

6m2+10

，y1•y2=-

9

6m2+10

①，…（8分）
又

PF2

=(1-x1，-y1)，

QF2

=(1-x2，-y2)，
所以

PF2•

QF2

=(11-x)•(1-x2)+y1y2
=（2-my₁）•（2-my₂）+y₁y₂
=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=

-9m2+31

6m2+10

，
由

QF2

•

PF2

=

11

8

，解得m=±1，…（10分）
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+y+1=0和x-y+1=0．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．