Question

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2）
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若a＞0，函数f（x）在x∈[1，3]取得最小值为e，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得f'（1）=0⇒e（a+2a-2-4）=0⇒a=2，（2）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，从而求出a的值．

解答： 解：f'（x）=e^x[ax²+（2a-2）x-4]（a＞0）
（1）由题意得f'（1）=0
⇒e（a+2a-2-4）=0
⇒a=2，
经检验，a=2符合题意；
（2）令f′（x）=e^x[ax²+（2a-2）x-4]=0
⇒x₁=-2，或x₂=

2

a

，
∵x∈[1，3]，
∴x=-2（舍去），
当

2

a

≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，3]上单调递增，
∴f_min（x）=f（1）=e（a-4）=e⇒a=5符合，
当1＜

2

a

＜3即

2

3

＜a＜2时，f（x）在[1，

2

a

]递减，在[

2

a

，3]递增，
∴f（x）_min=f（

2

a

）=e⇒a无解，舍，
当

2

a

≥3即a≤

2

3

时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，
∴f（x）_min=f（3）=e⇒a=

1

9a2

+

8

9

＞

2

3

，舍，
综上：a=5．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．