Question

已知函数f（x）=

x2

1+x2

（Ⅰ）分别求f（2）+f（

1

2

），f（3）+f（

1

3

），f（4）+f（

1

4

） 的值；
（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（Ⅲ）求值：2f（2）+2f（3）+…+2f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2014

）+

1

22

f（2）+

1

32

f（3）+…+

1

20142

f（2014）．

Answer 1

考点：函数的值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）代入解析式可分别求得结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想f（x）+f（

1

x

）=1，代入解析式可证明；
（Ⅲ）可得f（x）+

1

x2

f（x）=

x2

1+x2

(1+

1

x2

)=1，再由（Ⅱ）得f（x）+f（

1

x

）=1，对目标式分组求和即可；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x2

1+x2

，
∴f（2）+f（

1

2

）=

22

1+22

+

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

22

1+22

+

1

1+22

=1，
同理可得f（3）+f（

1

3

）=1，f（4）+f（

1

4

）=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想f（x）+f（

1

x

）=1，
证明：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1．
（Ⅲ）∵f（x）+

1

x2

f（x）=

x2

1+x2

(1+

1

x2

)=1，由（Ⅱ）得f（x）+f（

1

x

）=1，
则2f（2）+2f（3）+…+2f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2014

）+

1

22

f（2）+

1

32

f（3）+…+

1

20142

f（2014）
=[f（2）+f（

1

2

）+f（2）+

1

22

f(2)]+[f（3）+f（

1

3

）+

1

32

f(3)]+[f（2014+f（

1

2014

）+f（2014）+

1

20142

f(2014)]
=

2+2+…+2

2013个2

=4026．

点评：该题考查函数的性质、函数值的求解，考查学生的运算求解能力，属中档题．