Question

已知直线l：x-y+1=0和点A（1，0）
（Ⅰ）过点A作直线l的垂线，垂足为B，求点B的坐标；
（Ⅱ）若直线l与x轴的交点为C，将△ABC绕直线l旋转一周，求所得几何体的表面积．

Answer 1

考点：扇形面积公式,弧度制的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）根据直线垂直的条件求出直线AB的斜率，再代入点斜式方程进行化简，再联立两个直线方程求出点B的坐标；
（Ⅱ）求出点C的坐标并画出图象，再判断出旋转后所得的几何体是圆锥，由图求出底面的半径和母线长，代入表面积公式求解．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，直线AB的斜率为-1，且过A（1，0），
∴直线AB的方程为：y=-（x-1），即x+y-1=0，
由

x-y+1=0 x+y-1=0

得，x=0、y=1，故B（0，1），
（Ⅱ）根据题意画出图象如右图：
令y=0代入x-y+1=0得，x=-1，则C（-1，0），
将△ABC绕直线l旋转一周得圆锥，
其底面的半径r=|AB|=

2

，
母线为l=|AC|=2，
∴几何体的表面积S=πrl+πr²
=（2

2

+2）π．

点评：本题考查了直线垂直的条件、点斜式方程，以及旋转体-圆锥的表面积公式的应用．