Question

已知函数f（x）=4cos²x-4

3

sinxcosx-2（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=-4，若向量

m

=（1，sinA）与向量

.

n

=（1，2sinB）共线，求a、b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：解三角形

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=4cos（2x+

π

3

），利用余弦函数的单调性即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2））f（C）=4cos（2C+

π

3

）=-4，结合题意易求C=

π

3

，再利用正弦定理与余弦定理即可求得a、b的值．

解答： 解：（1）f（x）=4cos²x-4

3

sinxcosx-2=2cos2x-2

3

sin2x
=4cos（2x+

π

3

）…3分
由2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，（k∈Z）
解得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，（k∈Z）…5分
∴f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，（k∈Z）…6分
（2）f（C）=4cos（2C+

π

3

）=-4，而C∈（0，π），所以2C+

π

3

∈（

π

3

，

7π

3

），
∴2C+

π

3

=π，得C=

π

3

…8分
∵

m

=（1，sinA）与向量

n

=（1，2sinB）共线，∴

sinA

sinB

=2，
由正弦定理得：

a

b

=2①…9分
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9②…11分
由①②解得a=2

3

，b=

3

…12分

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用、平面向量数量积的运算、正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力，属于中档题．