Question

如图，一个圆环O直径为4m，通过铁丝CA₁，CA₂，CA₃，BC（A₁，A₂，A₃是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态，并距天花板2m，记四段铁丝总长为y（m）．
（1）按下列要求建立函数关系：
（ⅰ）设∠CA₁O=θ（rad），将y表示为θ的函数，并写出函数定义域；
（ⅱ）设BC=x（m），将y表示为x的函数，并写出函数定义域；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求铁丝总长y的最小值．（精确到0.1m，取

2

=1.4）

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）（i）由题意，求出CA₁、BC的表达式，即得函数y的解析式；
（ii）由BC得出CO，求出CA₁，即得函数y的解析式；
（2）由（i）求出y′，利用导数求出y的最小值，即得铁丝总长的最小值．

解答： 解：（1）（i）由题意，CA₁=CA₂=CA₃，
∵OA₁=2，∴CA₁=

2

cosθ

，OC=2tanθ，BC=2-2tanθ，
∴y=2-2tanθ+3×

2

cosθ

=2+

6-2sinθ

cosθ

；
∵BC＞0，∴tanθ＜1，∴θ∈（0，

π

4

），
∴y=2+

6-2sinθ

cosθ

，θ∈（0，

π

4

）；
（ii）∵BC=x，∴CO=2-x，CA₁=

22+(2-x)2

=

x2-4x+8

，
∴y=x+3

x2-4x+8

，x∈（0，2）；
（2）由（i）得，y′=

(-2cosθ)cosθ-(6-2sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

6sinθ-2

cos2θ

，
令y′=0，得sinθ=

1

3

；
∵θ∈（0，

π

4

），∴sinθ∈（0，

2

2

），∴

1

3

∈（0，

2

2

）；
设sinθ₀=

1

3

，θ₀∈（0，

π

4

），
∵x∈（0，θ₀）时，y′＜0，x=θ₀时，y′=0，x∈（θ₀，

π

4

）时，y′＞0；
∴当sinθ=

1

3

时，y取得极小值，也是最小值；
此时，cosθ=

1-sin2θ

=

2 2

3

，
y=4

2

+2≈7.6（m）；
∴铁丝总长y的最小值为7.6m．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应列出函数的解析式，求出函数的定义域，利用导数求函数的最值，是综合题．