Question

如图，多面体ABCDEFG中，四边形ABCD，CDEF都是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG=1．
（Ⅰ）若P是BC的中点，证明AP∥平面BFG；
（Ⅱ）求四面体ABEG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BF中点Q，连PQ、GQ，则PQ∥CF，且PQ=

1

2

CF=AG=1，证明AP∥平面BFG，只需证明AP∥GQ；
（Ⅱ）证明DE⊥平面ABCD，即可求四面体ABEG的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取BF中点Q，连PQ、GQ，则PQ∥CF，且PQ=

1

2

CF=AG=1，
∵CDEF是正方形，DE⊥平面ABCD，
∴CF⊥平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，
又AG⊥平面ABCD，
∴PQ∥AG，APQG为矩形，
∴AP∥GQ
∵QG?平面BFG，AP?平面BFG，
∴AP∥平面BFG…6分
（Ⅱ）解：∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，
又ABCD是矩形，∴AB⊥AD
从而AD⊥平面ABG
又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE
∴VABEG=VE-ABG=VD-ABG=

1

3

×

1

2

×AB×AG×AD=

2

3

…12分．

点评：本题综合考查空间线、面的位置关系，体积的计算，中等题．