Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中点，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AA₁=2，求三棱锥C-A₁AB的高的大小．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AC₁⊥平面A₁BC，只需证明AC₁⊥BC、AC₁⊥A₁C；
（Ⅱ）利用V_C-A1AB=V_A-A1BC，求三棱锥C-A₁AB的高的大小．

解答： （Ⅰ）证明：因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，所以AC₁⊥BC．…（2分）
因为AA₁=AC，所以四边形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C．
所以AC₁⊥平面A₁BC．…（6分）
（Ⅱ）解：设三棱锥C-A₁AB的高为h．
由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A₁BC的高为

1

2

AC₁=

3

．
因为V_C-A1AB=V_A-A1BC，即

1

3

S_△A1ABh=

1

3

S_△A1BC•

3

．
在△A₁AB中，AB=A₁B=2

2

，AA₁=2，所以S_△A1AB=

7

．…（10分）
在△A₁BC中，BC=A₁C=2，∠BCA₁=90°，所以S_△A1BC=

1

2

BC•A₁C=2．
所以h=

2 21

7

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．