Question

已知函数f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，从而可求f（x）的最小正周期和最值；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，利用正弦函数的单调性可求得函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

…（2分）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，最大值为

5

2

，最小值为

1

2

…（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
故-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）…（8分）
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）…（10分）
故函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）…（12分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性、单调性及最值，属于中档题．