Question

已知公比为q的等比数列{a_n}的前6项和为S₆=21，且2a₁，

3

2

a₂，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}是首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求不等式T_n-b_n＞0的解集．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2a₁，

3

2

a₂，a₃成等差数列，得到3a₂=2a₁+a₃，从中解出q，再由S₆=21，求出a₁，写出其通项公式．
（2）由等差数列的通项公式以及求和公式，得到T_n-b_n的表达式-

a1

2

n2+(2+

3a1

2

)n-2-a1，再a₁的值分别代入求解不等式即可．

解答： 解：（1）∵2a₁，

3

2

a₂，a₃成等差数列，
∴3a₂=2a₁+a₃，3a₁q=2a₁+a1q2，
即q²-3q+2=0，
∴q=1或q=2．
当q=1时，a_n=a₁，S₆=6a₁=21，∴a1=

7

2

，
当q=2时，S₆=

a1(1-q6)

1-q

=21，∴a1=

1

3

．
∴an=

7

2

或an=

1

3

•2n-1．
（2）b_n=2+（n-1）•（-a₁），Tn=2n+

n(n-1)

2

(-a1)，
∴T_n-b_n=-

a1

2

n2+(2+

3a1

2

)n-2-a1，
当a1=

7

2

时，T_n-b_n=-

7

4

n2+

29

4

n-

11

2

，
令T_n-b_n＞0，化简得，7n²-29n+22＜0，1＜n＜

22

7

，
∴不等式解集为{2，3}．
当a₁=

1

3

时，T_n-b_n=-

1

6

n2+

5

2

n-

7

3

，
令T_n-b_n＞0，化简得，n²-15n+14＜0，1＜n＜14，
∴不等式解集为{n∈N^*|1＜n＜14}．
综上所述，当a1=

7

2

时，不等式解集为{2，3}；
当a₁=

1

3

时，不等式解集为{n∈N^*|1＜n＜14}．

点评：本题属于基础题，题目难度不大，是对数列基本概念和基本公式的考查．学生在做这类题目时一般把握较大，值得注意的是，本题的计算量稍大，学生在计算时要细心才能够将这样的题目解决的稳稳当当．