Question

已知F₁，F₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F₂做椭圆的弦AB，若△AF₁B 的周长是16，椭圆的离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；       
（2）若∠F₁AF₂=90°，求△F₁AF的面积S；
（3）已知P（2，1）是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得

3

PQ+2QF₂最小，并求出最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

4a=16 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由∠F₁AF₂=90°，知S△F1AF2=b²tan90°，由此能求出结果．
（3）过P作右准线的垂线，与椭圆的交点为Q，此时PQ+2QF₂有最小值．

解答： 解：（1）∵F₁，F₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，
过F₂做椭圆的弦AB，△AF₁B 的周长是16，椭圆的离心率e=

3

2

，
∴

4a=16 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=4，c=2

3

，b=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵∠F₁AF₂=90°，
∴S△F1AF2=b²tan90°=4．
（3）∵P（2，1）是椭圆内一点，
∴过P作右准线的垂线，与椭圆的交点为Q，此时PQ+2QF₂有最小值．
∴Q（x_Q，1）x_Q＞0，代入

x2

16

+

y2

4

=1，得x_Q=3，∴Q（3，1）．
P到右准线的距离d=

16

2 3

-2=

8

3

-2，
∵

QF2

8 3 -2

=

3

2

，
∴2QF₂=8-2

3

，
∴PQ+2QF₂的最小值为：1+8-2

3

=9-2

3

．
即当Q（3，1）时，PQ+2QF₂有最小值，最小值为9-2

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查线段和最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．