Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的零点；

（2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；

（3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)x=1 (2)证明见解析 (3)

【解析】

（1）令，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；

（2）转化思想，要证 ，即证 ，即证，构造函数进而求证；

（3）不等式 对一切正实数恒成立，，设，分类讨论进而求解．

解：（1）令，所以，

当时，，在上单调递增；

当时，，在单调递减；

所以，所以的零点为．

（2）由题意， ，

要证 ，即证，即证，

令，则，由（1）知，当且仅当时等号成立，所以，

即，所以原不等式成立．

（3）不等式 对一切正实数恒成立，

，

设，，

记，△，

①当△时，即时，恒成立，故单调递增．

于是当时，，又，故，

当时，，又，故，

又当时，，

因此，当时，，

②当△，即时，设的两个不等实根分别为，，

又，于是，

故当时，，从而在单调递减；

当时，，此时，于是，

即 舍去，

综上，的取值范围是．