【题目】如图,在四面体中,
分别是线段
的中点,
,
,
,直线
与平面
所成的角等于
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明; (Ⅱ) 。
【解析】
(Ⅰ)先证得,再证得
,于是可得
平面
,根据面面垂直的判定定理可得平面
平面
.(Ⅱ)利用几何法求解或建立坐标系,利用向量求解即可得到所求.
(Ⅰ)在中,
是斜边
的中点,
所以.
因为是
的中点,
所以,且
,
所以,
所以.
又因为,
所以,
又,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)方法一:取中点
,连
,则
,
因为,
所以.
又因为,
,
所以平面
,
所以平面
.
因此是直线
与平面
所成的角.
故,
所以.
过点作
于
,则
平面
,
且.
过点作
于
,连接
,
则为二面角
的平面角.
因为,
所以,
所以,
因此二面角的余弦值为
.
方法二:
如图所示,在平面BCD中,作x轴⊥BD,以B为坐标原点,BD,BA所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系.
因为 (同方法一,过程略)
则,
,
.
所以,
,
,
设平面的法向量
,
则,即
,取
,得
.
设平面的法向量
则,即
,取
,得
.
所以,
由图形得二面角为锐角,
因此二面角的余弦值为
.
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【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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【题目】已知曲线(
为参数),曲线
,将
的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的
得到曲线
.
(1)求曲线的普通方程,曲线
的直角坐标方程;
(2)若点为曲线
上的任意一点,
为曲线
上的任意一点,求线段
的最小值,并求此时的
的坐标;
(3)过(2)中求出的点做一直线
,交曲线
于
两点,求
面积的最大值(
为直角坐标系的坐标原点),并求出此时直线
的方程.
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【题目】已知函数满足如下条件:
①函数的最小值为
,最大值为9;
②且
;
③若函数在区间
上是单调函数,则
的最大值为2.
试探究并解决如下问题:
(Ⅰ)求,并求
的值;
(Ⅱ)求函数的图象的对称轴方程;
(Ⅲ)设是函数
的零点,求
的值的集合.
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【题目】某校高三年级有1000人,某次数学考试不同成绩段的人数.
(1)求该校此次数学考试平均成绩;
(2)计算得分超过141的人数;
(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是,若本学期有4次考试,
表示进入前100名的次数,写出
的分布列,并求期望与方差.
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【题目】下列各一元二次不等式中,解集为空集的是( )
A.(x+3)(x﹣1)>0B.(x+4)(x﹣1)<0
C.x2﹣2x+3<0D.2x2﹣3x﹣2>0
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【题目】设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D点的坐标;
(2)设向量,
,若k
–
与
+3
平行,求实数
的值.
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