【题目】已知函数满足如下条件:
①函数的最小值为
,最大值为9;
②且
;
③若函数在区间
上是单调函数,则
的最大值为2.
试探究并解决如下问题:
(Ⅰ)求,并求
的值;
(Ⅱ)求函数的图象的对称轴方程;
(Ⅲ)设是函数
的零点,求
的值的集合.
【答案】(Ⅰ);
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由函数的最值结合三角函数的最值可求得
,
;由函数
在区间
上是单调函数,则
的最大值为2,可得
,根据
即可得
;由
且
,可得
,验证即可得
;再由函数周期性即可得
;
(Ⅱ)由题意结合三角函数的性质可令,化简即可得解;
(Ⅲ)由题意可得,进而可得
,
或,或
,化简后代入
,分别求解即可.
(Ⅰ)因为,
,
所以,
,
所以,
.
所以.
设的最小正周期为
,
因为在区间
上是单调函数,则
的最大值为2,
所以,所以
,所以
即
,
所以.
因为,所以
,
所以,即
.
因为,所以
或
.
若,则
,此时
,不合题意;
若,则
,此时
,符合题意;
所以.
所以.
因为的最小正周期为4,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
令,得
.
所以函数的对称轴方程是
.
(Ⅲ)令,则
,所以函数
的零点都满足:
或
.
因为,
是函数
的零点,所以
,
或,或
,
即,或
,
或.
所以,
或,
或.
故的值的集合为
.
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【题目】已知圆过点
,
,且圆心
在直线
上,过点
作直线
与圆
:
交于两点
,
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,若
于圆
交于
,
且
,求直线
的方程;
(3)若点恰好是线段
的中点,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,四边形CC1D1D为矩形,已知AB⊥BC1,AD=4,AB=2,BC=1.
(I)求证:BC1∥平面ADD1;
(II)若DD1=2,求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值;
(III)设P为线段C1D上的一个动点(端点除外),判断直线BC1与直线CP能否垂直?并说明理由.
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【题目】1642年,帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机年,莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机,但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂,随即提出了“二进制”数的概念
之后,人们对进位制的效率问题进行了深入的研究
研究方法如下:对于正整数
,
,我们准备
张不同的卡片,其中写有数字0,1,…,
的卡片各有
张
如果用这些卡片表示
位
进制数,通过不同的卡片组合,这些卡片可以表示
个不同的整数
例如
,
时,我们可以表示出
共
个不同的整数
假设卡片的总数
为一个定值,那么
进制的效率最高则意味着
张卡片所表示的不同整数的个数
最大
根据上述研究方法,几进制的效率最高?
A. 二进制 B. 三进制 C. 十进制 D. 十六进制
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【题目】在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下:
如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以
为始边作角
.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.
则
由向量数量积的坐标表示,有:
设的夹角为θ,则
另一方面,由图3.1—3(1)可知,;由图可知,
.于是
.
所以,也有
,
所以,对于任意角有:
(
)
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角
的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作
.
有了公式以后,我们只要知道
的值,就可以求得
的值了.
阅读以上材料,利用下图单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:
(1)判断是否正确?(不需要证明)
(2)证明:
(3)利用以上结论求函数的单调区间.
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【题目】恩格尔系数(记为)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重.国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.联合国对消费水平的规定标准如下表:
家庭类型 | 贫穷 | 温饱 | 小康 | 富裕 | 最富裕 |
实施精准扶贫以来,根据对某山区贫困家庭消费支出情况(单位:万元)的抽样调查,2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元,其中食物消费支出为1.2万元预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%,而食物消费支出平均每年增加0.2万元,预测该山区的家庭2020年将处于( )
A.贫困水平B.温饱水平C.小康水平D.富裕水平
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.
、
分别为
和
的中点.
为侧棱
上的动点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)试判断直线与平面
是否能够垂直.若能垂直,求
的值;若不能垂直,请说明理由.
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【题目】某厂每月生产一种投影仪的固定成本为万元,但每生产
台,需要加可变成本(即另增加投入)
万元,市场对此产品的月需求量为
台,销售的收入函数为
(万元)
且
,其中
是产品售出的数量(单位:百台).
(1)求月销售利润(万元)关于月产量
(百台)的函数解析式;
(2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?最大利润为多少?
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