Question

【题目】在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:

具体过程如下：

如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.

则

由向量数量积的坐标表示，有：

设的夹角为θ，则

另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，

.于是.

所以，也有，

所以，对于任意角有：（）

此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.

阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：

（1）判断是否正确？（不需要证明）

（2）证明：

（3）利用以上结论求函数的单调区间.

Answer 1

【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为，

的单调递减区间为

【解析】

(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;

(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;

即

(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.

(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;

(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,,所以,

即

(3) 因为令,解得:

所以的单调递增区间为

令,解得:

所以的单调递减区间为